计算机那点事儿之减法器

在写今天关于减法器文章之前，我需要多解释一下，计算机那点事儿xxx这一系列内容实际是我在读《编码-隐匿在计算机软硬件背后的语言》这本书时做的验证，目的是在加深自我理解的同时，能够成体系的梳理一下对计算机软硬件的认识，因此，一些方法和概念更偏向于直接告诉大家结果，而不是根据认知去推理这些方法的由来，就像上一篇计算机那点事儿之加法计算器中，针对用逻辑门来标识1bit加法器的进位和加和位这种方法，我也是根据书中的介绍进行展开。所以，在很多衔接部分就比较生硬，当然我也没有打算要在这个阶段去补上这些环节，可能会在很久很久以后，或者是我被隔离了实在有时间，会将自己知道的这些内容，完整的表述出来，而目前能做的，就是先让这些内容呈现出来而已。

在计算机那点事儿之加法计算器中，我们介绍了如何通过基本的逻辑电路搭建一个8Bit的加法器。本篇我们来介绍如何来通过改造上一篇中的加法器，实现一个不完整的减法器。之所以是不完整的，是我们没有在这里讨论结果是负数的情况(即减数大于被减数)。

问题

实现一个减法器(被减数大于减数)

思考

在加法计数器中，我们解决的是进位问题，在减法中，我们比较关注的是借位问题。

这一次，我们需要先明确我们目前掌握的工具，与门、或门、非门、与非门、或非门、异或门以及8bit加法器。

因此，我们不必像加法器中那样分析结果，我们用另一种方式来观察一下两个十进制数241和135的减法： $$ \begin{array}{r} 241-135=106 \end{array} $$ 在这里，我们在个位减法中，需要向十位借1，至今我仍然觉得，这是小学算术中很抽象的一个动作，十位要是不借呢？为了防止十位不借(减少这一步操作，去凑一个用电路更方便实现的做法)，我们需要对借位这个动作做一些改造，我们将这个算式改写成这样： $$ 241+(999-135)+1-1000=106 $$ 为了避免借位发生，我们在计算时，给等式左边先加了999+1，再减1。用数学老师的话来说，我们对等式做了一次恒等变形。

我们解释一下这个999-135，这个动作叫做对减数取十进制的补数。135对9取补数，135的补数是864。通过这动作，我们就可以避免借位操作，而且在二进制中，这个动作做起来异常容易。

补数**（complement）是对于给定的进位制，相加后能使自然数 a 的位数增加 1 的最小的数。**

取补完成后，我们将被减数与减数的补数相加，结果+1，再减去1000,即可得到最终的结果。

分析

根据如上思考过程，我们可以将十进制的减法避免借位的这种方法，推广到二进制中。

这里，需要补充一下，二进制求补码的操作：

在二进制中(对1的补数)，只需将原来的二进制数的1变为0，0变为1即可。因此，对1求补数有时也称为相反数(negation),或反码(inverse)。

举个例子，求135的补数：

135			10000111
inreverse	01111000

方案

这里再强调一下，我们针对的是减数小于被减数的减法。因为负数在二进制的标识是另一个概念，二进制中只有0和1，关于符号位的表示，我们在这一篇不做讨论。接下来，我们总结一下我们的方案：

减数求对1的补数：直接使用反向器进行取反；
被减数+减数：借助上一节的加法器；
+1：对上一节加法器进行改造，将第0位的进位输出改连接到加/减法选择位(原来是直接接0)。即，选择减法时，我们该位为1，即实现+1操作；
减去一个1 0000 0000,因为我们这减数和被减数都是8位：我们用一个CO输出位来表示减法的状态：
- 加法时，和以前一样，这一步表示一个加法和的最高位；
- 减法时，
  - 当该位为1时，表示当前减法得到了一个负数(下溢，underflow)；
  - 当该位位0时，则当前减数是小于被减数；